Математика 5 клас. Натуральні числа і дії над ними

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Натуральні числа

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, які використовуються при лічбі предметів, називають натуральними.

Наприклад, числа 24, 60, 365, 1 000 000 — натуральні числа.


Зазаначимо, що не всі числа, якими ми користуємось, - натуральні. Так, числа 0, ¼, ½ не є натуральними

Найменшим натуральним числом є число 1. Однак найбільшого натурального числа не існує. Справді, яке б велике число ти не назвав, якщо додати до нього одиницю, можна отримати ще більше число.

Усі натуральні числа, записані в порядку зростання, утворюють ряд натуральних чисел (або натуральний ряд). Зверни увагу, що числа 1, 2, 3, 5, 6, 7, ... не утворюють натуральний ряд. Запис натурального числа розбивається на групи справа наліво по три цифри в кожній групі. Кожна з цих груп називається класом, а розміщені вони справа наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйо¬нів, клас мільяр¬дів, клас триль¬йонів і т. д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні.

Щоб прочитати число, його запис розбивають справа наліво на класи й називають зліва по черзі число, що стоїть у кожному класі, додаючи назву класу. Не читають назву класу одиниць і тих класів, де всі цифри — нулі.

Приклад— двадцять п’ять мільярдів чотириста сім тисяч два¬дцять три.

Кожне натуральне число можна записати як суму розрядних доданків. Приклад 7 205 379=7 000 000+200 000+5 000+3 00+7+9

Натуральні числа, записані однією цифрою, називають одноцифровими, двома цифрами — двоцифровими, трьома цифрами — трицифровими і т. д. Взагалі, в математиці всі числа, крім одноцифрових, називають багатоцифровими.



Дії над натуральними числами

Додавання

У записі a+b=c числа a і b — доданки, число с, а також вираз a+b — сума чисел а і b. Властивості додавання 1. Переставна. Від перестановки доданків сума не змінюється: a+b=b+a.

2. Сполучна. Щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого й третього чисел: (a+b)+c=a+(b+c).

Переставна й сполучна властивості додавання дають змогу виконувати додавання кількох чисел у будь-якій послідовності: 36+12+14+28+50=(36+14)+(12+28)+50=50+40+50=140.

3. Якщо один із двох доданків 0, то їх сума дорівнює другому доданку: a+0=a, 0+a=a



Віднімання

Дія, за допомогою якої за відомою сумою двох доданків і одним із них знаходять другий доданок, називаєтьсядією віднімання:. a – b=c

У цьому записі число а — зменшуване, b — від’ємник, c — різниця.

Різниця двох натуральних чисел показує, на скільки перше число більше від другого або на скільки друге число менше від першого.


Властивості віднімання

1. Щоб відняти суму від числа, можна спочатку відняти від цього числа один доданок, а потім від отриманої різниці — другий: 25-(15+3)=(25-15)-3=10-3=7

2. Щоб від суми відняти число, можна відняти його від одного з доданків, а до отриманої різниці додати другий доданок: (37+15)-17=(37-17)+15=35 (23+19)-9=23+(19-9)=23+10=33

3. Якщо від числа відняти нуль, воно не зміниться: a–0=a.

4. Якщо від числа відняти те ж саме число, одержимо 0: a-a=0



Множення

Помножити число a на число b означає знайти суму b доданків, кожний із яких дорівнює а: (a+a+a+...+a) або a•b=c де a і b — множники, c — добуток


Властивості множення

1. Переставна.Від перестановки множників добуток не змінюється: a•b=b•a.

2. Сполучна.Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого й третього чисел: (a•b)•c=a•(b•c)=a•b•c.

Сполучна й переставна властивості множення поширюються на довільну кількість множників і дозволяють виконувати множення у довільному порядку

3. Розподільна. Щоб помножити суму на число, можна кожний доданок помножити на це число і знай¬де¬ні добутки додати: (a+b) •c=ac+bc

Щоб помножити різницю на число, можна зменшуване і від’ємник помножити на це число й від першого добутку відняти другий: (a-b) •c=ac-bc

4. Якщо одиницю помножити на будь-яке число, дістанемо те саме число: a•1=1•a=a

5. Якщо хоча б один множник дорівнює 0, добуток дорівнює 0:0•a=a•o=0



Ділення

Ділення — дія, за допомогою якої за відомим добутком і одним із множників знаходиться другий множник. Якщо a•b=c, то c:b=a і c:a=b.

У записі c:b=a число с — ділене, b — дільник, число а, а також вираз c:b — ¬частка. Частка показує, у скільки разів ділене більше дільника.


Властивості ділення

1. На 0 ділити не можна.

2. Якщо розділити число на 1, дістанемо те саме число: a:1=a.

3. Якщо розділити число на себе, дістанемо 1: .a:a=1 (a≠0)

4. Якщо розділити 0 на будь-яке число, крім 0, дістанемо 0: 0:a=0 (a≠0).